• Formulé par E. Codd en 1970

• Fondé sur la théorie des relations (partie de la théorie naïve des ensembles)

• Propose une solution pour

  • la modélisation et
  • l'interrogation de données

• Facile à traduire/mettre en œuvre dans des langages réels exemple~: Structured Query Language (SQL)

Un peu de formalisation

Rappel sur la notion de relation (au sens classique)

Domaine

-Domaine : ensemble d'éléments

Exemples : entiers, flottants, chaines de caractères, date, ...

Les types d'un langage de programmation comme C, Java, ...

Remarque

• Un domaine peut se définir

  • en extension (en donnant la liste de toutes les valeurs possibles) ou

  • en intention (en donnant une propriété caractéristique).

Produit cartésien

• Le Produit cartésien : d'une liste de domaines $D_1, D_2, \dots, D_k$, noté

$$D_1 \times D_2 \times \dots \times D_k$$

est l'ensemble

$$\Bigl\{(t_1,t_2,\dots,t_k);\ t_i\in D_i \text{ pour } i=1,\dots,k\Bigr\}$$

Un élément $t=(t_1,t_2,\dots,t_k)\in D_1 \times D_2 \times \dots \times D_k$ est appelé (k) -uplet

Relations (classiques)

Une Relation $R$ est un sous-ensemble de

$$D_1\times D_2\times \cdots \times D_k$$

où $D_1,...,D_k$ sont des domaines

$$R\subset D_1 \times D_2\times \cdots \times D_k$$

Exemple

Relations (classiques)

Dans ce cours, toutes les relations ont un nombre fini d'éléments !

Cardinalité de la relation $R$: $|R|$

On appelle cardinalité d'une relation $R$, notée $|R|$, le nombre d'éléments de $R$.

Arité de la relation $R$

Soit $R\subset D_1\times D_2\times \cdots \times D_k$, l'entier $k$ est appelé arité de $R$.

On parle parfois aussi de degré d'une relation.

Une relation binaire est une relation d'arité $2$

Relations et schémas

• Une relation (au sens classique) peut se voir comme une table à deux dimensions :

• chaque ligne correspond alors à un $k$-uplet (si la relation est d'arité $k$),

• chaque élément d'une colonne est à valeur dans un domaine.

• Un domaine peut apparaître plusieurs fois dans la définition d'une relation.

En BD relationnelle, on veut pouvoir donner un nom à chaque colonne

• Attribut: nom/rôle de la colonne. Précise la sémantique de celle-ci.

Pas deux attributs identiques dans une même table

Schéma d'une relation

Le Schéma d'une relation $R$ est la donnée des attributs et domaines de la relation

Le schéma peut se noter

$$R(A_1\! :\! D_1,A_2\! :\! D_2,\dots,A_k\! :\! D_k)$$

où $A_i$ : attribut et $D_i$ : domaine.

Exemple

ville : ensemble de chaînes de caractères (noms de villes).

heure : ensemble de chaînes de caractères de la forme $XYhZT$ où $X,Y,Z,T$ sont des chiffres

En notation ISO une heure s'écrit 'HH:MM:SS' (s' on oublie le fuseau horaire) 2023-09-15 10:53:35

Schéma: Train(h-dep:heure, dest:ville , h-arr:heure , prov:ville)

Arité : $4$, Cardinalité : $2$

L'ordre (des lignes ou colonnes) n'a pas vraiment d'importance

Formalisation alternative

• En BD, l'ordre des éléments et l'ordre des colonnes n'a pas d'importance (on désigne les membres d'un $k$-uplet par leur nom plutôt que par leur position/rang)

• La définition formelle diffère donc de celle d'une relation classique

• Soient $\{A_1,...,A_k\}$ un ensemble fini et $D_1,...,D_k$ suite de domaines.

Une relation $R$ de schéma $R(A_1\! :\! D_1,A_2\! :\! D_2,\dots,A_k\! :\! D_k)$ est la donnée d'un ensemble d'éléments, noté $\mathcal{R}$ et de $k$ fonctions $\mathcal{A}_1: \mathcal{R}\rightarrow D_1$, ..., $\mathcal{A}_k: \mathcal{R}\rightarrow D_k$.

Pour tout $t\in \mathcal{R}$ et $i\leq k$, on note $t.A_i=\mathcal{A}_i(t)$ l'image par $\mathcal{A}_i$ de $t$.

Un élément $t$ de $\mathcal{R}$ est appelé tuple de la relation $R$

L'ensemble des valeurs $t.A_1,...., t.A_k$ associées à un $t\in \mathcal{R}$.

on fixe un ordre arbitraire et on note $t=(t.A_1,...., t.A_k)$ un tuple.

• A un tuple $t$ de $\mathcal{R}$ correspond les $k$ valeurs $t.A_1, \dots, t.A_k$

• On notera aussi $R$ le domaine $\mathcal{R}$ d'une relation $R$.

Relations et schémas : formalisation

Exemple

La relation {Train}(h-dep:heure, dest:ville , harr:heure , prov:ville)

est constituée de deux tuples $e_1$, $e_2$ avec :

• $e_1.\textrm{hdep}=\textrm{'13h15'}$,
• $e_1.\textrm{dest}=\textrm{'Lyon'}$,
• $e_1.\textrm{harr}=\textrm{'15h15'}$,
• $e_1.\textrm{prov}=\textrm{'Paris'}$

Résumé informel

• RELATION = TABLE A DEUX DIMENSIONS

• (NOM DE) COLONNE = ATTRIBUT

• EN-TÊTE DU TABLEAU = SCHEMA DE LA RELATION

• LIGNE = TUPLE

• ENSEMBLE DES LIGNES = CONTENU DE LA RELATION

Opérateurs de base

Liste des opérateurs

L'algèbre relationnelle est d'abord un Langage de Manipulation de Données (LMD)}.

• Union: $\Large{\cup}$

• Intersection: $\Large{\cap}$

• Différence: $\Large{\backslash}$

• Projection: $\Large{\Pi}$

• Sélection: $\Large{\sigma}$

• Produit cartésien: $\Large{\times}$

• Renommage: $\Large{\rho}$

s'appliquent à des relations pour produire d'autres relations (le résultat).

Union $\cup$ et intersection $\cap$

• L'union et l'intersection sont des opérations portant sur deux relations $R_1$ et $R_2$ de même schéma

  • $T=R_1\cup R_2$ est constituée des tuples appartenant à $R_1$ ou à $R_2$.

• $T=R_1\cap R_2$ est constituée des tuples appartenant à $R_1$ et à $R_2$.

• Schémas de $R_1\cup R_2$, $R_1\cap R_2$ sont les mêmes que ceux de $R_1$ et $R_2$

Union et intersection

Exemple

Différence

• La différence de deux relations $R_1$ et $R_2$ (de même schéma) est une relation $T$

• de même schéma que $R_1$ et $R_2$

• constituée des tuples appartenant à $R_1$ et n'appartenant pas à $R_2$.

• On note $T = R_1 - R_2$.

Opération non commutative : $R_1 - R_2\neq R_2 - R_1$ (en général).

Exemple

Produit Cartésien

• Soient:

  • $R_1$ de schéma $R_1(A_1,A_2,...,A_k)$
  • $R_2$ de schéma $R_2(B_1,B_2,...,B_\ell)$
  • avec $A_i\neq B_j$, pour tout $i=1,...,k$, $j=1,..,\ell$

• Dans le contexte "classique" : $R_1 \times R_2= \{(e_1,e_2): e_1\in R_1, e_2\in R_2\}$

• $R=R_1 \times R_2$ de schéma $R(A_1,A_2,...,A_k,B_1,B_2,...,B_\ell)$. Le schéma de $R$ est l'union des schémas de $R_1$ et $R_2$

• En algèbre relationnelle, cette opération est commutative ( $R_1\times R_2 = R_2\times R_1$ ) et associative

Produit cartésien : définition formelle

$R=R_1\times R_2$ est la relation de schéma $R(A_1,A_2,...,A_k,B_1,B_2,...,B_\ell)$ vérifiant~:

• Pour tout $t\in R$, il existe $t_1\in R_1$, $t_2\in R_2$ tels que :

$$t.A_1=t_1.A_1, \ldots, t.A_k=t_1.A_k,\quad t.B_1=t_2.B_1, \ldots, t.B_\ell=t_2.B_\ell$$

• Réciproquement, pour tout $t_1\in R_1$, $t_2\in R_2$ , il existe $t\in R$ tels que :

$$t.A_1=t_1.A_1, \ldots, t.A_k=t_1.A_k,\quad t.B_1=t_2.B_1, \ldots, t.B_\ell=t_2.B_\ell$$

Produit cartésien : exemple

Train 1 $\times$ Train 2

Projection ( $\Large{\pi}$ )

• La projection d'une relation $R$ de schéma $R(A_1,\dots, A_k)$ sur les attributs $A_{i_1}, \dots, A_{i_p}$, $i_1,..., i_p\in \{1,...,k\}$, est la relation $S$

• de schéma $S(A_{i_1}, \dots,A_{i_p})$

• dont les tuples sont obtenus par élimination des attributs non mentionnés dans $A_{i_1}, \dots, A_{i_p}$ (et par élimination des doublons).

• On note $S = \pi_{A_{i_1}, \dots, A_{i_p}} (R)$.

• Définition formelle :

$$s\in S\quad \iff \quad \exists t\in R\ \forall n\in\left\{1,\dots,p\right\}\ s.A_{i_n}=t.A_{i_n}$$

Élimination des doublons car une projection peut produire plusieurs fois le même tuple.

Projection : Exemple

$\Large{\Pi_{\text{dest, num}}(\text{Train})}$

Sélection ( $\Large{\sigma}$ )

• La sélection d'une relation $R$ par une condition $C$ est une relation $S$

  • de même schéma que $R$

  • dont les tuples sont ceux de $R$ qui satisfont la condition $C$.

• On note $S = \sigma_C (R)$.

• La condition $C$

  • s'exprime à l'aide des noms d'attributs de la relation ou de constantes (pour les opérandes)

  • on peut utiliser des opérateurs arithmétiques de comparaison ( $=, \neq, \leq, \geq, <, >$ ) ainsi que des connecteurs logiques ( $\lnot, \land, \lor$ )..

Sélection : Exemple

$\Large{\sigma_{\text{dest}=\text{'Lyon'}} \text{Train 1}}$

$\Large{\sigma_{\text{dest}=\text{'Lyon'} \wedge \text{hdep} > 14h} \text{Train 1}}$

Renommage

• Soit $R$ de schéma $R(A_1,\dots, A_k)$, le renommage d'un attribut $A_i$, $i\leq k$, en $B$ est une relation $S$ :

• de même contenu

• de schéma $S(A_1,...,A_{i-1},B,A_{i+1},..., A_k)$

• On le note $S=\rho_{A_i\mapsto B}(R)$

Exemple

Train :

$$\rho_{\text{num}\mapsto \text{numero}}(\text{Train})$$

Utilité Va permettre d'étendre certains opérateurs pour des relations de schémas non-disjoints

Résumé

Algèbre relationnelle

• opérations ensemblistes classiques.

• Projection : élimine des colonnes

• Sélection : élimine des lignes

Pour interroger une BD, on compose ces opérateurs :

Exemple

$\pi_{num}(\sigma_{dest='Lyon'}(Train))$

Numéro des trains dont la ville de destination est 'Lyon'.

Les jointures

On va définir des opérations pratiques pour la manipulation de données~: les jointures

• Jointure

• Jointure naturelle

• $\theta$-jointure et équi-jointure

Jointure

La jointure $T=R_1\bowtie_C R_2$ de deux relations $R_1$ et $R_2$ de schémas disjoints sous la condition $C$ est la relation $T$:

• de schéma la concaténation des schémas de $R_1$ et $R_2$

• formée des tuples du produit cartésien $R_1 \times R_2$ qui satisfont la condition $C$

Règles de formation de la condition de jointure : comme pour la sélection

Définition formelle~:

$$R_1 \bowtie_C R_2 = \sigma_C(R_1\times R_2)$$

Exemple

TrDep

TrArr

$\texttt{TrDep} \bowtie_{\text{numdep} > \text{numar}} \texttt{TrArr}$

Équi-jointure, $\theta$-jointure

Équi-jointure : Jointure avec égalité entre attributs de types comparables

$$\texttt{TrDep} \bowtie_{\text{numdep} = \text{numarr}} \texttt{TrArr}$$

$\theta$-jointure : condition de jointure entre attributs de types comparables et avec un opérateur différent de l'égalité, c'est-à-dire dans $\left\{<,>,\leq,\geq, \neq\right\}$.

$$\text{TrDep} \bowtie_{\text{numdep} > \text{numarr}} \text{TrArr}$$

Jointure naturelle

C'est une équi-jointure concernant les attributs communs de deux relations

On ne garde dans le résultat qu'une copie des attributs communs

On considère

• $R_1$ d'attributs $A_1,..,A_k,B_1,...,B_h$

• $R_2$ d'attributs $A_1,..,A_k,B_{h+1},...,B_\ell$

• $A_1,..., A_k$ : attributs communs et $\{B_1,...,B_h\}\cap \{ B_{h+1},...,B_\ell \}=\emptyset$

• Soit $A'_1, ...., A'_k$ tels que $\{A_1,..., A_k\}\cap \{ A'_1, ...., A'_k \}=\emptyset$

Jointure naturelle

Considérons $S$ d'attributs $A_1',..,A_k',B_{h+1},...,B_l$ définie par :

$$S=\rho_{A_1\mapsto A_1'}(\rho_{A_2\mapsto A_2'}(\cdots (\rho_{A_k\mapsto A_k'}(R_2)\cdots ))$$

La jointure naturelle sur deux relations $R_1$ et $R_2$ est la relation

• d'attributs $A_1,..,A_k,B_1,...,B_h, B_{h+1},...,B_\ell$

• définie par :

$$\pi_{A_1,..,A_k,B_1,...,B_h, B_{h+1},...,B_\ell}(R_1\bowtie_{C} S)$$

où $C$ est $(A_1=A_1') \wedge (A_2=A'_2) \wedge \ldots \wedge (A_k=A_k')$

on réalise une équi-jointure sur tous les attributs communs et on ne garde qu'un seul "exemplaire" de ces attributs communs par projection.

On note cette opération : $R_1 \bowtie R_2$.

Inline footnotes text.

Exemple de Jointure naturelle

Exemples de requêtes

Base constituée des trois tables suivantes:

fournisseurs(fno, nom, adresse, ville)

produits(pno, design, prix, poids, couleur)

commandes(cno, fno, pno, qte)

Exemples de requêtes (suite)

• déterminer les numéros des fournisseurs ayant comme nom "Durand"

$$\pi_{\text{fno}} \bigl( \sigma_{\text{nom}=\text{'Durand'}} (\text{fournisseurs})\bigr)$$

• déterminer les références, prix et quantités des produits commandés à plus de 10 exemplaires.

$$\pi_{\text{pno,prix,qte}} \bigl( \sigma_{\text{qte}>10} (\text{commandes} \bowtie \text{produits})\bigr)$$

Jointure externe

• Perte d'information dans jointure naturelle : les tuples ne satisfaisant pas la condition (non appariés) disparaissent

• On ajoute "symboliquement" une ligne dont les valeurs sont vides (ou avec valeur spéciale NULL) pour garder les tuples initiaux "non satisfaisants" après la jointure

• On note cette opération entre deux relations $R$ et $S$ :

$$R\bowtie^+ S$$

Jointure externe (exemple)

Division

La division ou quotient

• d'une relation $R$ de schéma $R(A_1,A_2,\dots,A_k)$

• par une relation $S$ de schéma $S(A_{p+1},\dots ,A_k)$

est la relation $T$ de schéma $T(A_1, \dots, A_p)$ formée des tuples qui complétés par chaque tuple de $S$ donnent un tuple de $R$.

Autrement dit

$$\begin{array}{l} t\in T(A_1,\dots,A_p) \quad \Longleftrightarrow \\ \forall s\in S(A_{p+1},\dots ,A_k) \quad \exists r\in R \quad \begin{cases} t.A_1=r.A_1, \dots, t.A_p=r.A_p\\ s.A_{p+1}=r.A_{p+1},\dots, s.A_{k}=r.A_{k} \end{cases} \end{array}$$

On note $$T = R \div S$$

Division (exmple)

Division (exemple, suite)

$$\texttt{Voyage} \div \texttt{Villes}$$

Résultat : numéros des clients ayant effectué tous les voyages entre les villes de la table Villes (i.e. à la fois un Paris-Marseille et un Paris-Nantes.)

Interdéfinissabilité des opérateurs

• L'union, la différence, le produit cartésien, la sélection et la projection et le renommage sont suffisants pour définir tous les opérateurs que l'on a vu.

• Mais avoir un panel plus large d'opérateurs simplifie l'écriture des requêtes.

Quelques définitions

• Pour la Jointure : $R \bowtie_C S \equiv \sigma_C (R \times S)$

• Pour l'intersection : $A \cap B = A \cup B - ((B - A) \cup (A - B))$