BD I: Algèbre Relationnelle

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# Bases de Données : Introduction à l'algèbre relationnelle

### 2023-09-15

#### [Licence MIASHS et Mathématiques]()

#### [Bases de Données](http://stephane-v-boucheron.fr/courses/bdd/)

#### [Équipe BD](http://stephane-v-boucheron.fr)

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## Plan

- Un peu d'histoire

- Schémas et relations

- Formalisation alternative

- Premiers opérateurs du langage de manipulation de données

- Opérations complémentaires : les jointures

- Variations sur les jointures

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## Le modèle relationnel

---

- Formulé par [E. Codd](https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_F._Codd) en 1970

- Fondé sur la théorie des relations (partie de la théorie naïve des ensembles)

- Propose une solution pour
 
  + la modélisation et 
  + l'interrogation de données

- Facile à traduire/mettre en œuvre dans des langages *réels* exemple~: `Structured Query Language (SQL)`

---

### Un peu de formalisation

Rappel sur la notion de relation (au sens classique)

???

---

### Domaine

-.red[Domaine] : ensemble d'éléments

Exemples :  entiers, flottants, chaines de caractères, date, ...

Les types d'un langage de programmation comme `C`, `Java`, ...

---

### Remarque

- Un _domaine_ peut se définir

- en .red[extension] (en donnant la
liste de toutes les valeurs possibles) ou

-  en .red[intention] (en donnant une propriété caractéristique).

---

### Produit cartésien

- Le .red[Produit cartésien] : d'une liste de domaines `$D_1, D_2, \dots, D_k$`, noté

`$$D_1 \times D_2 \times \dots \times D_k$$`

est l'ensemble

`$$\Bigl\{(t_1,t_2,\dots,t_k);\ t_i\in D_i \text{ pour } i=1,\dots,k\Bigr\}$$`

Un élément `$t=(t_1,t_2,\dots,t_k)\in D_1 \times D_2 \times \dots \times  D_k$` est appelé .red[ `$k$` -uplet ]

---

### Relations (classiques)

Une .red[Relation] `$R$` est un  sous-ensemble de

`$$D_1\times D_2\times \cdots \times D_k$$`

où `$D_1,...,D_k$` sont des domaines

`$$R\subset D_1  \times D_2\times \cdots \times D_k$$`

---

### Exemple

.fl.w-70.pa2[

Deux domaines

`$$D_1=\left\{1,2,5\right\} \quad D_2=\left\{2,4\right\}$$`

Un produit cartésien

`$$D_1 \times D_2 =
\left\{(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(5,2),(5,4)\right\}$$`

Une relation

`$$R =\left\{(1,2),(1,4),(5,2),(5,4)\right\}$$`

Une relation est un (sous-) ensemble (d'un produit cartésien)

]

.fl.w-30.pa2[
On peut  représenter `$R$`  par le tableau :

| `$X_1$`  | `$X_2$` |
|:---:|:---:|
|  1    |  2 |
|  1    |  4 |
|  5    |  2 |
|  5    |  4 |

Chaque ligne de la table correspond à  un élément de la relation `$R$`

]

---

### Relations (classiques)

Dans ce cours, toutes les relations ont  un nombre fini d'éléments !

### .red[Cardinalité] de la relation `$R$`: `$|R|$`

On appelle .red[cardinalité] d'une relation `$R$`, notée `$|R|$`, le nombre d'éléments  de `$R$`.

### .red[Arité] de la relation `$R$`

Soit `$R\subset D_1\times D_2\times \cdots \times D_k$`, l'entier `$k$` est appelé .red[arité] de `$R$`.

On parle parfois aussi de *degré* d'une relation.

Une relation binaire est une relation d'arité `$2$`

---
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## Schémas et relations

---

### Relations et schémas

- Une .red[relation] (au sens classique) peut se voir comme une table
à deux dimensions :

- chaque ligne correspond alors à un `$k$`-uplet (si la relation est d'arité `$k$`),

- chaque élément d'une colonne est à valeur dans  un domaine.

- Un .red[domaine] peut apparaître plusieurs fois dans la définition d'une relation.

En BD relationnelle, on veut pouvoir donner un nom à chaque colonne

- .red[Attribut]:  nom/rôle de la colonne. Précise la sémantique de celle-ci. 
 
<svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:currentColor;overflow:visible;position:relative;"><path d="M256 32c14.2 0 27.3 7.5 34.5 19.8l216 368c7.3 12.4 7.3 27.7 .2 40.1S486.3 480 472 480H40c-14.3 0-27.6-7.7-34.7-20.1s-7-27.8 .2-40.1l216-368C228.7 39.5 241.8 32 256 32zm0 128c-13.3 0-24 10.7-24 24V296c0 13.3 10.7 24 24 24s24-10.7 24-24V184c0-13.3-10.7-24-24-24zm32 224a32 32 0 1 0 -64 0 32 32 0 1 0 64 0z"/></svg>  Pas deux attributs identiques dans une même table

???

L'idée de nommer les colonnes plutôt que de les désigner par une position/un numéro se retrouve dans les sytèmes qui manipulent des données tabulaires (`Pandas/Python`, `R`, `Spark`, ...). 
---

### Schéma d'une relation

Le .red[Schéma] d'une relation `$R$` est la donnée  des  attributs et domaines de la relation

Le schéma peut se noter

`$$R(A_1\! :\!
D_1,A_2\! :\! D_2,\dots,A_k\! :\! D_k)$$`

où `$A_i$` : attribut et `$D_i$` : domaine.

---

### Exemple

.red[heure] :
ensemble de chaînes de caractères de la forme `$XYhZT$` où
`$X,Y,Z,T$` sont des chiffres

En notation ISO une heure s'écrit 'HH:MM:SS' (s' on oublie le fuseau horaire) 2023-09-15 10:53:35

| h-dep |   dest | h-arr |  prov |
|:-------:|:-------|:-------:|:---------|
| 13h15    | Lyon    |   15h15   | Paris   |
| 13h22    | Nantes  |    15h30  | Paris  |

Arité : `$4$`, Cardinalité : `$2$`

L'ordre (des lignes ou colonnes) n'a pas vraiment d'importance

---
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## Relations et schémas : formalisation alternative

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###  Formalisation alternative

- En BD, l'ordre des éléments et l'ordre des colonnes n'a pas d'importance (on désigne les membres d'un `$k$`-uplet par leur nom plutôt que par leur position/rang)

- La définition formelle diffère donc de celle 	d'une relation classique

- Soient `$\{A_1,...,A_k\}$` un ensemble fini et `$D_1,...,D_k$` suite de domaines.

Une relation `$R$` de schéma `$R(A_1\! :\! D_1,A_2\! :\! D_2,\dots,A_k\! :\! D_k)$` est la donnée d'un ensemble d'éléments, noté `$\mathcal{R}$` et de `$k$`  fonctions `$\mathcal{A}_1: \mathcal{R}\rightarrow D_1$`, ..., `$\mathcal{A}_k: \mathcal{R}\rightarrow D_k$`.

Pour tout `$t\in \mathcal{R}$` et `$i\leq k$`, on note `$t.A_i=\mathcal{A}_i(t)$` l'image par `$\mathcal{A}_i$` de `$t$`.

Un élément `$t$` de `$\mathcal{R}$` est appelé .red[tuple] de la relation `$R$`

---

L'ensemble des valeurs `$t.A_1,...., t.A_k$` associées à un `$t\in \mathcal{R}$`.

on fixe un ordre arbitraire et on note `$t=(t.A_1,...., t.A_k)$` un tuple.

- A un tuple `$t$` de `$\mathcal{R}$` correspond les `$k$` valeurs `$t.A_1, \dots, t.A_k$`

- On notera aussi `$R$` le domaine `$\mathcal{R}$` d'une relation `$R$`.

---

### Relations et schémas : formalisation

### Exemple

La relation {Train}(h-dep:.red[heure], dest:.red[ville] , harr:.red[heure] , prov:.red[ville])

|				**hdep**   | **dest**     |   **harr**       |  **prov** | 
|:------------------:|:---------------|:----------------:|:-----------|
|				13h15        | Lyon           |     15h15        | Paris      |
|				13h22        | Nantes         |     15h30        | Paris      |

est constituée de deux tuples `$e_1$`, `$e_2$` avec :

- `$e_1.\textrm{hdep}=\textrm{'13h15'}$`,
- `$e_1.\textrm{dest}=\textrm{'Lyon'}$`,
- `$e_1.\textrm{harr}=\textrm{'15h15'}$`,
- `$e_1.\textrm{prov}=\textrm{'Paris'}$`

---

### Résumé informel

- RELATION =  TABLE A DEUX DIMENSIONS

- (NOM DE) COLONNE =  ATTRIBUT

- EN-TÊTE DU TABLEAU = SCHEMA DE LA RELATION

- LIGNE = TUPLE

- ENSEMBLE DES LIGNES = CONTENU DE LA RELATION

---
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## LMD : Opérateurs,

---

### Opérateurs de base

---

### Liste des opérateurs

L'algèbre relationnelle est d'abord un .red[Langage] de Manipulation de Données (LMD)}.

- Union: `$\Large{\cup}$`

- Intersection: `$\Large{\cap}$`

- Différence: `$\Large{\backslash}$`

- Projection:  `$\Large{\Pi}$`

- Sélection: `$\Large{\sigma}$`

- Produit cartésien:  `$\Large{\times}$`

- Renommage:  `$\Large{\rho}$`

s'appliquent à des relations pour produire d'autres relations (le résultat).

---

### Union `$\cup$` et intersection  `$\cap$`

- L'.red[union] et l'.red[intersection] sont des  opérations portant sur deux relations `$R_1$` et `$R_2$` de **même  schéma**

- `$T=R_1\cup R_2$`  est  constituée des tuples appartenant à `$R_1$` *ou* à
`$R_2$`.

- `$T=R_1\cap R_2$`  est  constituée des tuples appartenant à `$R_1$` *et* à
`$R_2$`.

- Schémas de  `$R_1\cup R_2$`, `$R_1\cap R_2$` sont les mêmes que ceux de `$R_1$`  et  `$R_2$`

---

### Union et intersection

### Exemple

.fl.w-50.pa2[
**Train 1**

| **h-dep**   | **dest**            | **num**           |
|:--------:|:-----------------|:----------------|
|    13h15    | Lyon         |     213         |
|    13h29    | Marseille    |    1024         |
|    14h15    | Lyon         |    214          |

**Train 2**

| **h-dep**   | **dest**             | **num**            |
|:--------:|:-----------------|:----------------|
|    13h39   | Avignon       |     43          |
|    14h15   | Lyon          |     214         |

]

.fl.w-50.pa2[
**Train 1 `$\cup$` Train 2**

| **h-dep**   | **dest**     |    **num**      |
|:-----------:|:-------------|:----------------|
|    13h15    | Lyon         |     213         |
|    13h29    | Marseille    |    1024         |
|    14h15    | Lyon         |    214          |
|    13h39    | Avignon      |     43          |

**Train 1 `$\cap$` Train 2**

| **h-dep**   | **dest**             | **num**            |
|:--------:|:-----------------|----------------:|
|    14h15    | Lyon         |    214          |

]

---

### Différence

- La **différence** de deux relations `$R_1$` et `$R_2$` (de même schéma) est une relation `$T$`

- de même schéma que `$R_1$` et `$R_2$`

-  constituée des tuples appartenant à `$R_1$` et n'appartenant pas à `$R_2$`.

- On note `$T = R_1 - R_2$`.

Opération non .red[commutative] : `$R_1 - R_2\neq  R_2 - R_1$` (en général).

---

### Exemple

.fl.w-50.pa2[
**Train 1**

**Train 2**

]

.fl.w-50.pa2[

**Train 1 `$\backslash$` Train 2**

| **h-dep**   | **dest**             | **num**             |
|:--------:|:-----------------|----------------:|
|    13h15    | Lyon         |     213         |
|    13h29    | Marseille    |    1024         |

]

---

### Produit Cartésien

- Soient:
  -  `$R_1$` de schéma `$R_1(A_1,A_2,...,A_k)$`
  -  `$R_2$` de schéma `$R_2(B_1,B_2,...,B_\ell)$`
  -  avec `$A_i\neq B_j$`, pour tout `$i=1,...,k$`, `$j=1,..,\ell$`

-  Dans le contexte "classique" : `$R_1 \times R_2= \{(e_1,e_2): e_1\in R_1, e_2\in R_2\}$`

- `$R=R_1 \times R_2$`  de schéma `$R(A_1,A_2,...,A_k,B_1,B_2,...,B_\ell)$`. Le schéma de `$R$` est .red[l'union] des schémas de `$R_1$` et `$R_2$`

- En algèbre relationnelle, cette opération est commutative  ( `$R_1\times R_2 = R_2\times R_1$` ) et associative

---

### Produit cartésien : définition formelle

`$R=R_1\times R_2$` est la relation de schéma `$R(A_1,A_2,...,A_k,B_1,B_2,...,B_\ell)$` vérifiant~:

- Pour tout `$t\in R$`, il existe `$t_1\in R_1$`, `$t_2\in R_2$` tels que :

`$$t.A_1=t_1.A_1, \ldots, t.A_k=t_1.A_k,\quad t.B_1=t_2.B_1, \ldots, t.B_\ell=t_2.B_\ell$$`

- Réciproquement, pour tout `$t_1\in R_1$`, `$t_2\in R_2$` , il existe `$t\in R$` tels que :

`$$t.A_1=t_1.A_1, \ldots, t.A_k=t_1.A_k,\quad t.B_1=t_2.B_1, \ldots, t.B_\ell=t_2.B_\ell$$`

---

### Produit cartésien : exemple

**Train 1  `$\times$` Train 2**

| **h-dep(1)**   | **dest(1)**       |  **num(1)**         | **h-dep(2)**   | **dest(2)**             | **num(2)**            |
|:--------|:-----------------|:----------------|:--------|:-----------------|:----------------|
|    13h15    | Lyon         |     213         | 13h39   | Avignon       |     43          |
|    13h15    | Lyon         |     213         | 14h15   | Lyon          |     214         |
|    13h29    | Marseille    |    1024         | 13h39   | Avignon       |     43          |
|    13h29    | Marseille    |    1024         | 14h15   | Lyon          |     214         |
|    14h15    | Lyon         |    214          | 13h39   | Avignon       |     43          |
|    14h15    | Lyon         |    214          | 14h15   | Lyon          |     214         |

---

### Projection  ( `$\Large{\pi}$` )

- La .red[projection] d'une relation `$R$` de schéma `$R(A_1,\dots, A_k)$`
 sur les attributs `$A_{i_1}, \dots, A_{i_p}$`, `$i_1,..., i_p\in \{1,...,k\}$`,  est la relation `$S$`

- de schéma `$S(A_{i_1}, \dots,A_{i_p})$`

- dont les tuples sont obtenus par élimination des attributs
non mentionnés dans `$A_{i_1}, \dots, A_{i_p}$` (et par élimination
des doublons).

- On note `$S = \pi_{A_{i_1}, \dots, A_{i_p}} (R)$`.

- Définition formelle :

`$$s\in S\quad  \iff \quad \exists t\in R\ \forall n\in\left\{1,\dots,p\right\}\ s.A_{i_n}=t.A_{i_n}$$`

---
### Projection : Exemple

`$\Large{\Pi_{\text{dest, num}}(\text{Train})}$`

| **dest**             | **num**             |
|:----------------|----------------:|
| Lyon             |     213         |
| Marseille        |     1024         |
| Lyon             |     214          |

---

### Sélection  ( `$\Large{\sigma}$` )

- La .red[sélection] d'une relation `$R$`
par une condition `$C$` est une relation `$S$`

- de même schéma que `$R$`

- dont les tuples sont ceux de `$R$` qui satisfont la condition `$C$`.

- On note `$S = \sigma_C (R)$`.

- La condition `$C$`

- s'exprime à l'aide des noms d'attributs de la relation ou de constantes (pour les opérandes)

- on peut utiliser des opérateurs arithmétiques de comparaison ( `$=, \neq, \leq, \geq, <, >$` ) ainsi que des connecteurs logiques ( `$\lnot, \land, \lor$` )..

---

### Sélection : Exemple

`$\Large{\sigma_{\text{dest}=\text{'Lyon'}} \text{Train 1}}$`

| **h-dep**   | **dest**             | **num** |
|:--------:|:-----------------|---------------:|
|    13h15    | Lyon         |     213         |
|    14h15    | Lyon         |    214          |

`$\Large{\sigma_{\text{dest}=\text{'Lyon'} \wedge \text{hdep} > 14h} \text{Train 1}}$`

| **h-dep**   | **dest**             | **num**    |
|:--------:|:-----------------|----------------:|
|    14h15    | Lyon         |    214          |

---

### Renommage

- Soit  `$R$` de schéma `$R(A_1,\dots, A_k)$`, le .red[renommage] d'un attribut `$A_i$`, `$i\leq k$`, en `$B$` est une relation `$S$` :

- de même contenu

- de schéma `$S(A_1,...,A_{i-1},B,A_{i+1},..., A_k)$`

- On le note `$S=\rho_{A_i\mapsto B}(R)$`

---

### Exemple

Train :

|  **h-dep**   | **dest**   | **num** | 
|:---------------:|:--------------|--------------:|
|		13h15         | Lyon          |     213       |
|		13h29         | Marseille     |    1024       |
|		14h15         | Lyon          |     214       |
	
	
`$$\rho_{\text{num}\mapsto \text{numero}}(\text{Train})$$`

|  **h-dep**   | **dest**   | **numero** | 
|:---------------:|:--------------|--------------:|
|		13h15         | Lyon          |     213       |
|		13h29         | Marseille     |    1024       |
|		14h15         | Lyon          |     214       |

---

---

### Résumé

### Algèbre relationnelle

- opérations ensemblistes classiques.

- Projection : élimine des colonnes

- Sélection : élimine des lignes

Pour interroger une BD, on compose ces opérateurs :

### Exemple

`$\pi_{num}(\sigma_{dest='Lyon'}(Train))$`

Numéro des trains dont la ville de destination est 'Lyon'.

---
template: inter-slide

## Opérations complémentaires : les jointures

---

### Les jointures

On va définir des opérations pratiques
pour la manipulation de données~: les .red[jointures]

- Jointure

- Jointure naturelle

- `$\theta$`-jointure et équi-jointure

---

### Jointure

La jointure `$T=R_1\bowtie_C R_2$` de deux relations `$R_1$` et `$R_2$` de schémas disjoints sous la condition `$C$` est la relation `$T$`:

- de schéma la *concaténation* des schémas de `$R_1$` et `$R_2$`

- formée des tuples du produit cartésien `$R_1  \times R_2$` qui satisfont la condition `$C$`

Règles de formation de la .red[condition de jointure] : comme pour la sélection

Définition formelle~:

`$$R_1 \bowtie_C R_2 = \sigma_C(R_1\times R_2)$$`

---

### Exemple

`TrDep`

|  **hdep**   | **dest**   | **numdep** |
|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h15         | Lyon          |     213 |
|    13h29         | Marseille     |    1024 |

`TrArr`

| **harr**      | **prov**     | **numarr**   |
|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h39         | Avignon        |     43       |
|    15h15         | Paris          |     213       |

`$\texttt{TrDep} \bowtie_{\text{numdep} > \text{numar}} \texttt{TrArr}$`

| **hdep**         | **dest**         | **numdep** | **harr**       | **prov**         | **numarr** |
|:----------------:|:--------------|--------:|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h15              | Lyon               |     213           |     13h39          | Avignon            |     43  |        |
|    13h29              | Marseille          |    1024           |     13h39          | Avignon            |     43   |        |
|    13h29              | Marseille          |    1024           |     15h15          | Paris              |     213   |       |

---

### Équi-jointure, `$\theta$`-jointure

Équi-jointure : Jointure avec égalité entre attributs de types comparables

`$$\texttt{TrDep} \bowtie_{\text{numdep} = \text{numarr}} \texttt{TrArr}$$`

`$\theta$`-.red[jointure] : condition de jointure entre attributs de types comparables et avec un opérateur différent de l'égalité, c'est-à-dire dans `$\left\{<,>,\leq,\geq, \neq\right\}$`.

`$$\text{TrDep} \bowtie_{\text{numdep} > \text{numarr}} \text{TrArr}$$`

---

### Jointure naturelle

C'est une équi-jointure concernant les attributs communs de deux relations

On ne garde dans le résultat qu'une copie des attributs communs <svg aria-hidden="true" role="img" viewBox="0 0 512 512" style="height:1em;width:1em;vertical-align:-0.125em;margin-left:auto;margin-right:auto;font-size:inherit;fill:currentColor;overflow:visible;position:relative;"><path d="M256 32c14.2 0 27.3 7.5 34.5 19.8l216 368c7.3 12.4 7.3 27.7 .2 40.1S486.3 480 472 480H40c-14.3 0-27.6-7.7-34.7-20.1s-7-27.8 .2-40.1l216-368C228.7 39.5 241.8 32 256 32zm0 128c-13.3 0-24 10.7-24 24V296c0 13.3 10.7 24 24 24s24-10.7 24-24V184c0-13.3-10.7-24-24-24zm32 224a32 32 0 1 0 -64 0 32 32 0 1 0 64 0z"/></svg>

On considère

- `$R_1$` d'attributs `$A_1,..,A_k,B_1,...,B_h$`

- `$R_2$` d'attributs `$A_1,..,A_k,B_{h+1},...,B_\ell$`

- `$A_1,..., A_k$` : attributs communs et `$\{B_1,...,B_h\}\cap \{ B_{h+1},...,B_\ell \}=\emptyset$`

- Soit `$A'_1, ...., A'_k$` tels que `$\{A_1,..., A_k\}\cap \{ A'_1, ...., A'_k \}=\emptyset$`

---

### Jointure naturelle

Considérons `$S$` d'attributs `$A_1',..,A_k',B_{h+1},...,B_l$` définie par :

`$$S=\rho_{A_1\mapsto A_1'}(\rho_{A_2\mapsto A_2'}(\cdots (\rho_{A_k\mapsto A_k'}(R_2)\cdots ))$$`

La .red[jointure naturelle] sur deux relations `$R_1$` et `$R_2$` est la relation

- d'attributs `$A_1,..,A_k,B_1,...,B_h, B_{h+1},...,B_\ell$`

- définie par :

`$$\pi_{A_1,..,A_k,B_1,...,B_h, B_{h+1},...,B_\ell}(R_1\bowtie_{C} S)$$`

où `$C$` est `$(A_1=A_1') \wedge (A_2=A'_2) \wedge \ldots \wedge (A_k=A_k')$`

On note cette opération : `$R_1 \bowtie R_2$`.

Pour éviter le renommage, on peut décider de préfixer les noms des attributs par ceux de la relation. La condition `$C$` devient :

`$$(R_1.A_1=R_2.A_1) \wedge \ldots \wedge (R_1.A_k=R_2.A_k)$$`

]

Inline footnotes text.

---

### Exemple de Jointure naturelle

.fl.w-40.pa2[

`TrDep`

|  **hdep**   | **dest**   | **num** |
|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h15         | Lyon          |     213 |
|    13h29         | Marseille     |    1024 |

`TrArr`

| **harr**      | **prov**     | **num**   |
|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h39         | Avignon        |     43       |
|    15h15         | Paris          |     213       |

]

.fl.w-60.pa2[

`$$\text{TrDep} \bowtie \text{TrArr}$$`

| **hdep**         | **dest**         | **num** | **harr**       | **prov**      |
|:-----------------:|:----------------|--------:|:--------------:|--------------:|
|    13h15          | Lyon            |     213 |     15h15      | Paris         |

]

---

### Exemples de requêtes

Base constituée des trois tables suivantes:

`fournisseurs(fno, nom, adresse, ville)`

`produits(pno, design, prix, poids, couleur)`

`commandes(cno, fno, pno, qte)`

---

### Exemples de requêtes (suite)

- déterminer les numéros des fournisseurs ayant comme nom "Durand"

`$$\pi_{\text{fno}} \bigl( \sigma_{\text{nom}=\text{'Durand'}} (\text{fournisseurs})\bigr)$$`

- déterminer les références, prix et quantités des produits commandés à plus de 10 exemplaires.

`$$\pi_{\text{pno,prix,qte}} \bigl( \sigma_{\text{qte}>10} (\text{commandes} \bowtie \text{produits})\bigr)$$`

---
exclude: true
### Représentation graphique - arbre de requête

---
template: inter-slide

## Encore des opérations...

---

### Jointure externe

- Perte d'information dans jointure naturelle : les tuples ne satisfaisant pas la condition (non appariés) disparaissent

- On ajoute "symboliquement" une ligne dont les valeurs sont vides (ou avec valeur spéciale `NULL`) pour garder les tuples initiaux "non satisfaisants" après la jointure

- On note cette opération entre deux relations `$R$` et `$S$`  :

`$$R\bowtie^+ S$$`

---

### Jointure externe (exemple)

.fl.w-30.pa2[

`TrDep`

|  **hdep**   | **dest**   | **num** |
|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h15         | Lyon          |     213 |
|    13h29         | Marseille     |    1024 |

`TrArr`

| **harr**      | **prov**     | **num**   |
|:----------------:|:--------------|--------:|
|    13h39         | Avignon        |     43       |
|    15h15         | Paris          |     213       |

]

.fl.w-70.pa2[

`$$\text{TrDep} \bowtie^+ \text{TrArr}$$`

| **hdep**         | **dest**         | **num** | **harr**       | **prov**     |
|:-----------------:|:------------------|------:|:----------------:|:----------------|
|    13h15              | Lyon               |     213           |     15h15         | Paris       |
|    13h29              | Marseille          |    1024           |     -          |  -              |
|   -              | -           |    43          |     13h39          | Avignon                    |

]

---

### Division

La .red[division] ou .red[quotient]

- d'une relation `$R$` de schéma
`$R(A_1,A_2,\dots,A_k)$`

- par une relation `$S$` de schéma
`$S(A_{p+1},\dots ,A_k)$`

est la relation `$T$` de schéma `$T(A_1, \dots, A_p)$` formée des tuples qui complétés par chaque tuple
de `$S$` donnent un tuple de `$R$`.

Autrement dit

`$$\begin{array}{l} t\in T(A_1,\dots,A_p)  \quad \Longleftrightarrow \\
\forall s\in S(A_{p+1},\dots ,A_k) \quad \exists r\in R \quad \begin{cases}
t.A_1=r.A_1, \dots, t.A_p=r.A_p\\ s.A_{p+1}=r.A_{p+1},\dots, s.A_{k}=r.A_{k} \end{cases} \end{array}$$`

On note 
`$$T = R \div S$$`

---

### Division (exmple)

.fl.w-60.pa2[
`Voyage` : contient  pour chaque numéro de
client la ville de départ et d'arrivée des voyages qu'il a
effectué

| **numclient**  | **vdep**   | **varr**|
|---------------:|:-----------------|:----------------|
|   1           | Paris              | Marseille    |
|   3           | Marseille          | Lyon  |
|   1            | Paris              | Nantes |
|   5            | Marseille          | Avignon |
|   4           | Paris              | Nantes   |
|   3           | Paris              | Marseille |
|   2           | Caen               | Le Mans   |
|   3           | Paris              | Nantes |

]

.fl.w-40.pa2[

`Villes` contient des couples  villes de départ/villes d'arrivée

| **vdep**   | **varr** |
|:-------------|:---------------|
|  Paris             | Marseille       |
|  Paris             | Nantes          |

]

---

### Division (exemple, suite)

`$$\texttt{Voyage} \div \texttt{Villes}$$`

| **numclient** |
|-------------:|
|  1          |
|  3             |

.red[Résultat] :  numéros des clients ayant
effectué tous les voyages entre les villes de la table `Villes` (i.e. à la fois un Paris-Marseille et un Paris-Nantes.)

---

### Interdéfinissabilité des opérateurs

- L'union, la différence, le produit cartésien, la sélection et la projection et le renommage sont .red[suffisants] pour définir tous les opérateurs que l'on a vu.

- Mais avoir un panel plus large d'opérateurs simplifie l'écriture des requêtes.

Quelques définitions

- Pour la .red[Jointure] : `$R \bowtie_C S \equiv \sigma_C (R \times S)$`

- Pour l'.red[intersection] : `$A \cap B = A \cup B - ((B - A) \cup (A - B))$`

---
exclude: true

### Définition de la division

- `$R$` de schéma
`$R(A_1,A_2,\dots,A_k)$`, `$S$` de schéma
`$S(A_{p+1},\dots ,A_k)$`

est la relation `$T= R \div S$` de schéma `$T(A_1, \dots, A_p)$`.

`\begin{center}
`\begin{tikzpicture}
%\Tree [.$\pi_{pno,prix,qte}$ [.$\sigma_{qte>10}$ [.$\bowtie_{pno}$ [.commandes ] [.produit ] ] ] ]
\Tree [.$-$ [.$\pi_{A_1,...,A_p}$ `$R$` ] [.$\pi_{A_1,...,A_p}$ [.$-$ [.$\times$ [.$\pi_{A_1,...,A_p}$ `$R$` ] [.S ] ] [.R ] ] ] ]
%[.$\pi_{A_1,...,A_p}$ [.- [.\times [.$\pi_{A_1,...,A_p}$ `$R$` ] [.S ] ] [.R ] ]
\end{tikzpicture}`
\end{center}`

---
exclude: true

> In the 1960s and 1970s he worked out his theories of data arrangement, issuing his paper "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks"[14] in 1970, after an internal IBM paper one year earlier.[15] To his disappointment, IBM proved slow to exploit his suggestions until commercial rivals started implementing them.[16]

> Initially, IBM refused to implement the relational model to preserve revenue from IMS/DB.[citation needed] Codd then showed IBM customers the potential of the implementation of its model, and they in turn pressured IBM. Then IBM included in its Future Systems project a System R subproject – but put in charge of it developers who were not thoroughly familiar with Codd's ideas, and isolated the team from Codd.[citation needed] As a result, they did not use Codd's own Alpha language but created a non-relational one, SEQUEL. Even so, SEQUEL was so superior to pre-relational systems that it was copied, in 1979, based on pre-launch papers presented at conferences, by Larry Ellison, of Relational Software Inc, in his Oracle Database, which actually reached market before SQL/DS – because of the then-already proprietary status of the original name, SEQUEL had been renamed SQL.

> Codd continued to develop and extend his relational model, sometimes in collaboration with Christopher J. Date. One of the normalised forms, the Boyce–Codd normal form, is named after him.

> Codd's theorem, a result proven in his seminal work on the relational model, equates the expressive power of relational algebra and relational calculus.[14]

---

background-image: url('./img/pexels-cottonbro-3171837.jpg')
background-size: cover

# The End